Vamos continuar nosso estudo sobre lógica?
Você sabia que: as proposições podem assumir somente dois valores,
verdadeiro (V) ou falso (F), e nunca os dois valores ao mesmo tempo? Mesmo nas proposições compostas cada uma de suas proposições podem admitir somente esses dois valores lógicos.
Utilizando a linguagem simbólica fica:
Utilizando a linguagem simbólica fica:
A proposição composta é constituída por duas proposições simples que são
representadas pelas letras p e q. Cada proposição pode assumir somente
um dos dois valores lógicos. Ou seja, as afirmações “Roberto dá aulas” e também “Viviane é psicóloga” podem ser consideradas verdades ou falsas. Na tabela a seguir estão dispostos cada um dos valores possíveis que cada proposição pode assumir:
Considerando os valores lógicos anteriores, temos somente as seguintes possibilidades:
p e q podem ser ambas verdadeiras (V);
p pode ser verdadeira (V) e q falsa (F);
p pode ser falsa (F) e q verdadeira (V);
p e q podem ser ambas falsas (F).
Todas as combinações possíveis de associação de valores lógicos das proposições p e q estão dispostas na tabela a seguir:
Trabalhando agora com três proposições, p,
q e r, temos as seguintes tabelas com os respectivos valores lógicos possíveis para cada proposição:
E todas as combinações possíveis entre as três proposições estão dispostas na tabela a seguir:
A tabela na qual são expostas todas as combinações possíveis de valores lógicos de proposições é denominada tabela-verdade.
De modo geral, a quantidade de linhas necessárias para combinar os valores lógicos das proposições pode ser calculada através da fórmula , em que n
representa a quantidade de proposições. Exemplo:
Para:
uma proposição temos n = 1, então 2¹ = 2 , ou seja, duas linhas.
duas proposições temos n = 2, então 2² = 4 , ou seja, quatro linhas.
três proposições temos n = 3, então 2³ = 8 , ou seja, oito linhas.
quatro proposições temos n = 4, então 2⁴ = 16, ou seja, dezesseis linhas.
Agora vamos estudar os resultados de alguns conectivos na tabela-verdade. É através dessa tabela que podemos mapear todos os resultados possíveis entre os valores lógicos das proposições aplicando os diferentes conectivos. Existem algumas tabelas-verdade básicas; essas tabelas mostram os resultados entre proposições e conectivos.
Vamos ver a do conectivo disjunção:
Observando a tabela, pode-se concluir que a disjunção de duas proposições é verdadeira quando uma das duas proposições em que se aplicou o conectivo disjunção é verdadeira, ou seja, basta que uma das proposições seja verdadeira para que tenhamos uma sentença verdadeira.
Exemplo: Marcos é médico ou Renata é enfermeira.
Para que a frase acima seja verdadeira, basta que uma de suas proposições seja verdadeira. Caso Marcos seja médico a frase é verdadeira. Se Renata for enfermeira a frase também é verdadeira. A frase só será falsa se nem Marcos for médico, nem Renata for enfermeira.
Veremos agora a tabela-verdade do conectivo conjunção:
Já aplicando o conectivo conjunção, devemos ter obrigatoriamente as duas
proposições verdadeiras para que tenhamos uma sentença verdadeira.
Exemplo: O cachorro late e Milton joga cartas.
Na frase anterior, é evidente verificar que para que toda sentença seja
verdadeira, as duas proposições que a compõem devem ser verdadeiras. Se ao menos uma for falsa, então toda a sentença é falsa. Agora, aplicaremos a
tabela-verdade para o conectivo condicional.
De acordo com a tabela-verdade da condicional só teremos uma sentença falsa quando a segunda proposição da sentença for falsa.
Exemplo: Se o meu celular está quebrado, então a loja devolve o meu dinheiro.
Na frase anterior, é evidente verificar que para que toda sentença seja
verdadeira, as duas proposições que a compõem devem ser verdadeiras. Se ao menos uma for falsa, então toda a sentença é falsa. Agora, aplicaremos a
tabela-verdade para o conectivo condicional.
De acordo com a tabela, só teremos uma sentença verdadeira se as
proposições tiverem o mesmo valor lógico, ou seja, forem ambas verdadeiras ou ambas falsas.
Exemplo: O time ganha o jogo se, e somente se, faz a quantidade necessária de pontos.
Aqui podemos observar que “o time ganha se faz a quantidade necessária de pontos”, o que é verdade. Reciprocamente temos que “o time faz a quantidade necessária de pontos se ganha o jogo”, o que também é verdade.
Quando trabalhamos com proposições compostas é comum realizarmos a validação entre as suas proposições, mesmo que cada proposição seja composta por outras proposições combinadas por conectivos.
Os resultados das validações recebem nomes especiais, um dele é a tautologia. Neste caso, a validação da proposição composta é sempre verdadeira. Outro resultado de uma validação é a contradição, neste caso o resultado da validação é sempre falso. A última é a contingência, em que não fica definido se o resultado é uma tautologia ou contradição, e o seu resultado depende somente do valor lógico da proposição simples.
A tabela-verdade também é usada para verificar a validação de proposições compostas maiores, ou compostas por outras proposições. Em proposições compostas que envolvam várias proposições simples e também haja a utilização de vários conectivos, a tabela-verdade é um instrumento útil para se conhecer o valor lógico da proposição que se está estudando.
Vejamos um exemplo da construção da tabela-verdade aplicada em uma proposição composta por duas proposições simples. Vamos analisar o comportamento dos valores lógicos da seguinte proposição (p v q) > p . Acompanhe a construção da tabela-verdade.
Inicialmente construímos a tabela-verdade com os valores lógicos das proposições p e q.
Agora, aplicamos os valores lógicos na proposição p v q.
Em seguida, aplicamos o condicional (→) entre os valores lógicos das proposições (p v q) e p. Dica: se achar mais fácil, você pode repetir a coluna da proposição p entre as colunas das proposições p v q e (p v q) → p.
Como resultado, temos uma contingência,
pois aparecem valores verdadeiro e falso na coluna da proposição (p v q) → p.
Observe agora os valores lógicos das colunas p e ~~p, são os mesmos e isso indica que as duas proposições são equivalentes. De forma simbólica, representamos a equivalência de p e ~~p da seguinte forma p < > ~~p . Assim, podemos concluir que a Dupla negação é equivalente à afirmação.
Vejamos o exemplo a seguir:
Considere a declaração “João vai à praia”. A proposição fica:
Observe agora os valores lógicos das colunas p e ~~p, são os mesmos e isso indica que as duas proposições são equivalentes. De forma simbólica, representamos a equivalência de p e ~~p da seguinte forma p < > ~~p . Assim, podemos concluir que a Dupla negação é equivalente à afirmação.
Vejamos o exemplo a seguir:
Considere a declaração “João vai à praia”. A proposição fica:
p: João vai à praia.
A negação da proposição p é:
~p: João não vai à praia.
Se aplicarmos novamente a negação em ~p teremos ~~p, o que equivale a p,
ou ainda:
“Não é verdade que João não vai à praia”.
Logo, “João vai à praia”.
Com isso, ~~p é equivalente a p e:
~~p: João vai à praia.
A seguir há uma lista com as equivalências mais importantes.
No estudo da lógica trabalhamos também com a ideia de argumentação. Basicamente realizar uma argumentação consiste em utilizar-se de premissas para se chegar a uma conclusão através da utilização do raciocínio. Para que se construa uma conclusão que seja forte, rígida e que qualquer pessoa possa também atingir, se faz necessária a aplicação de procedimento claro e seguro, passível de ser reproduzido.
Vamos agora estudar dois tipos de argumentação. É importante observar a diferença básica entre os dois modos de raciocínio.
Tipo I – Raciocínio Indutivo: parte-se de
casos particulares para se chegar a uma conclusão de caráter geral. Exemplo:
O papagaio é um pássaro e não tem dentes; (premissa)
O bem-te-vi é um pássaro e não tem dentes; (premissa)
O beija-flor é um pássaro e não tem dentes; (premissa)
O pica-pau é um pássaro e não tem dentes. (premissa)
Logo, os pássaros não têm dentes. (conclusão)
É fácil verificar que a conclusão genérica foi obtida através de premissas
verdadeiras de casos particulares. Neste caso devemos enumerar uma quantidade suficiente de proposições particulares para construir uma conclusão de caráter geral.
Vejamos um caso em que o raciocínio indutivo tem uma conclusão fraca.
Cintia é jovem e bateu o carro; (premissa)
Marcos é jovem e bateu o carro; (premissa)
Zélia é jovem e bateu o carro; (premissa)
Tiago é jovem e bateu o carro; (premissa)
Logo, todos os jovens batem o carro. (conclusão)
Do ponto de vista lógico a conclusão está correta, mas sua afirmação é fraca, já
que o problema está em considerar que todos os jovens batem o carro, o que é
uma mentira.
Tipo II – Raciocínio Dedutivo: trabalha-se
de forma diferente do raciocínio indutivo. Aqui partimos de afirmações gerais para chegar a uma particularidade. Exemplo:
Todos os gatos miam; (premissa)
Jack é um gato; (premissa)
Logo, Jack mia. (conclusão)
Vemos que a partir de uma característica geral e verdadeira retiramos
uma característica particular. Ou seja, de casos genéricos e verdadeiros
concluímos fatos particulares e também verdadeiros. Vale ressaltar que mesmo se utilizando destes tipos de argumentações devemos estar atentos à qualidade das premissas que usamos, pois se as proposições forem fracas sua conclusão será falha.
Vejamos um caso em que o raciocínio dedutivo produz uma conclusão fraca.
Todo leão é mamífero; (premissa)
Thor é mamífero; (premissa)
Logo, Thor é um leão. (conclusão)
O erro aqui se encontra na segunda premissa, já que poderia se concluir que Thor é um chimpanzé e ainda assim as duas premissas ainda seriam verdadeiras. Neste caso o raciocínio correto seria:
Todo leão é mamífero; (premissa)
Thor é leão; (premissa)
Logo, Thor é um mamífero. (conclusão)
Vejamos um caso em que o raciocínio dedutivo produz uma conclusão fraca.
Todo leão é mamífero; (premissa)
Thor é mamífero; (premissa)
Logo, Thor é um leão. (conclusão)
Ao contrário do raciocínio indutivo, o raciocínio dedutivo tem a vantagem de não necessitar do caráter probabilístico para que esteja correto (ou para chegar à conclusão). Isso se deve ao fato de que no raciocínio dedutivo partimos de fatos concretos verdadeiros gerais para concluir fatos verdadeiros particulares. Esse fato garante a validade das proposições.
Então para que possamos construir deduções corretas se faz necessário o cumprimento das características a seguir:
I. As proposições utilizadas devem ser verdadeiras, devem dizer a verdade, ou seja, a proposição utilizada deve fazer sentido. Estar de acordo com a realidade. (Verdade)
II. O raciocínio aplicado às proposições deve ser correto, o arranjo que se faz com as proposições deve estar de acordo com lógica formal. (Validade)
Sabendo das características citadas acima, podemos então dizer que ocorrem dois resultados de argumentação: consistente (válido) ou inconsistente (não válido).
Uma argumentação consistente ou válida é aquela que utiliza proposições
verdadeiras e aplica corretamente a lógica formal; já a argumentação
inconsistente ou não válida é aquela que utiliza proposições falsas ou é
aplicado o uso incorreto da lógica, ocorrendo Falácia ou Sofisma.
Em nosso estudo sobre as argumentações, vamos considerar somente proposições verdadeiras juntamente com uma aplicação válida da lógica formal.
Na lógica formal trabalhamos basicamente com a forma dedutiva de raciocínio.